Flacons de parfum

Un parfumeur propose l'un de ses parfums, appelé « Fleur rose », et cela uniquement avec deux contenances de flacon : un de \(30\)  mL ou un de \(50\)  mL. Pour l'achat d'un flacon « Fleur rose », il propose une offre promotionnelle sur un autre parfum appelé « Bois d'ébène ».

On dispose des données suivantes :

• \(58\)  % des clients achètent un flacon de parfum « Fleur rose » de \(30\)  mL et, parmi ceux là, \(24\)  % achètent également un flacon du parfum « Bois d'ébène » ;
  
• \(42\)  % des clients achètent un flacon de parfum « Fleur rose » de \(50\)  mL et, parmi ceux là, \(13\)  % achètent également un flacon du parfum « Bois d’ébène ».
  

On admet qu'un client donné n'achète qu'un seul flacon de parfum « Fleur rose » (soit en \(30\)  mL soit en \(50\)  mL) et que, s'il achète un flacon du parfum « Bois d'ébène », il n'en achète aussi qu'un seul flacon.

On choisit au hasard un client achetant un flacon du parfum « Fleur rose ». On considère les événements suivants :

• \(\text F\)  : « Le client a acheté un flacon "Fleur rose" de \(30\)  mL. »
  
• \(\text B\)  : « Le client a acheté un flacon "Bois d'ébène". »
  

1. Construire un arbre pondéré traduisant les données de l'exercice.

2. Calculer la probabilité \(P(\text F \cap \text B)\) .

3. Calculer la probabilité que le client ait acheté un flacon « Bois d’ébène ».

4. Un flacon « Fleur rose » de \(30\)  mL est vendu \(40\)  €, un flacon « Fleur rose » de  \(50\)  mL est vendu \(60\)  € et un flacon « Bois d’ébène » est vendu  \(25\)  €.
On note \(X\)  la variable aléatoire correspondant au montant total des achats par un client du parfum « Fleur rose ».
    a. Déterminer la loi de probabilité de \(X\) .
    b. Calculer l'espérance de \(X\)  et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.